\documentclass[11pt,a4paper,final]{report}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{amsthm, amsfonts, amsmath, graphicx, asymptote}

\begin{document}
%13.5.2010 aloitettu
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{määritelmä}{Määritelmä}
\newtheorem{esimerkki}{Esimerkki}
\newtheorem{huomautus}{Huomautus}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{lause}[määritelmä]{Lause}
\newtheorem{lemma}[määritelmä]{Lemma}


\title{Harmonisista funktioista}
\author{Lassi Miinalainen \\ \emph{lassimii@mail.student.oulu.fi}}
\date{4.10.2010}
\maketitle
\tableofcontents

\paragraph{Johdanto}
Harmoniset funktiot ovat eräs keskeinen funktioluokka, jolla on monia kiinnostavia ominaisuuksia ja käytännön sovelluksia. Harmonisen funktion määritelmä on yksinkertainen: sen toisen asteen osittaisderivaattojen summa on nolla. Tästä petollisen yksinkertaisesta lähtökohdasta voidaan johtaa useita teoreemoja. Tämä on melko yleinen ilmiö matematiikassa ja eräs sen vahvuuksista. Tässä tutkielmassa käydään aluksi läpi esitiedot, minkä jälkeen todistetaan lyhyesti eräitä tutkimusalan keskeisiä teoreemoja. Tämän jälkeen esimerkkinä käytännän sovelluksista esitellään potentiaaliteoriaa ja ratkaistaan Dirichletin reuna-arvoprobleema.

Tutkielman tulokset ja määritelmät on mahdollista yleistää kolmen muuttujan funktioille. Greenin kolme identiteettiä esitelläänkin lähdekirjallisuudessa usein juuri kolmen muuttujan funktioille. Rajoitun kuitenkin koko ajan vain yksinkertaisempaan kaksiulotteiseen tapaukseen. Suurin osa tämän tutkielman todistuksista on peräisin kirjasta \cite{flanigan}.

\chapter{Määritelmiä ja apuvälineitä}

Määrittelemme (tai paremminkin kertaamme lyhyesti) teorian pohjalla olevat käsitteet ja apuvälineet asiaankuuluvalla tarkkuudella.

\begin{määritelmä}\label{määritelmä:pohja}
Sanomme että funktio $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ on harmoninen alueessa $\Omega \subset \mathbb{R}^2$, jos \[  \nabla^2 f(x) = \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_1^2} +\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_2^2} := \Delta f(x) = 0 \qquad \text{kaikilla} \quad x \in \Omega \]
\end{määritelmä}

\begin{määritelmä}
$z$-keskeinen ja $R$-säteinen avoin kiekko on joukko $D(z, R)=\{ \bar{x} \in \mathbb{R}^2 : ||z - \bar{x}|| < R \}$. Koska kiekon keskipiste on usein selvä asiayhteydestä, voidaan merkitä myös lyhyemmin $D(z, R) = D_R = D$. Vastaavasti määritellään $z$-keskeisen kiekon reuna: $\partial D(z, R)=\{ \bar{x} \in \mathbb{R}^2 : ||z - \bar{x}|| = R \} = \partial D_R = \partial D$.
\end{määritelmä}

\begin{määritelmä}
Joukon $A \subset \mathbb{R}^2$ sisäpisteistö $Int(A)$ on niiden pisteiden $z \in A$ joukko, joille on olemassa vakio $\varepsilon > 0$ siten, että $D(z, \varepsilon) \in A$. Näin ollen $Int(A)$ on joukon $A$ maksimaalinen avoin alijoukko. Joukon $A$ reuna $\partial A$ on niiden pisteiden $z \in \mathbb{R}^2$ joukko, joille pätee kaikilla $\varepsilon > 0$ $D(z, \varepsilon) \cap A \ne \emptyset$ sekä $D(z, \varepsilon) \cap A^c \ne \emptyset$, missä $A^c$ on joukon $A$ komplementti.
\end{määritelmä}

\begin{määritelmä}
Jordan-käyrä on kuvaus $f: [a,b] \to \mathbb{R}^2, x \mapsto (f_1(x), f_2(x))$, joka toteuttaa seuraavat ehdot:
\begin{enumerate}
\item Se on suljettu, eli $f(a)=f(b)$.
\item Se on yksinkertainen eli jos $f(x_1)=f(x_2) \text{ ja } x_1 \ne a, \, x_2 \ne b \text{, niin } x_1=x_2$.
\item Kuvaus $f$ on melkein kaikkialla derivoituva, eli funktio $f'=({f_1}', {f_2}')^T$ on olemassa kaikkialla välillä [a,b] lukuunottamatta äärellistä määrää yksittäisiä pisteitä.
\end{enumerate}
\end{määritelmä}
Väliä $[a, b]$ kutsutaan Jordan-käyrän parametrisoinniksi. Käyrän pituus $L$ saadaan integraalista $L = \int_a^b ||f'(x)|| \, dx = \int_a^b \sqrt{f_1(x)^2 + f_2(x)^2} \, dx$. Parametrisointia välillä $[0, L]$ kutsutaan parametrisoinniksi pituuden suhteen.

\begin{määritelmä}
Joukko $A \subset \mathbb{R}^2$ on \emph{polkuyhtenäinen}, jos kaikille $x,y \in A$ löytyy sellainen murtoviiva, joka yhdistää pisteet $x$ ja $y$ ja jonka jokainen piste kuuluu myös joukkoon $A$.
\end{määritelmä}

\begin{määritelmä}
Jordan-käyrän rajaamaa äärellistä koordinaattitason $\mathbb{R}^2$ osa-aluetta kutsutaan \emph{Jordan-alueeksi}. Jotta tulevissa lauseissa ja määritelmissä säilyisi yksikäsitteisyys, niin rajoitumme reunakäyrien parametrisoinnissa matemaattista kiertosuuntaa noudattaviin tapauksiin, eli niihin joissa Jordan-alueen reunaa kierretään vastapäivään.

Voimme lisäksi todeta, että Jordan-alueet ovat polkuyhtenäisiä. Tämän intuitiivisesti todelta näyttävän asian todistaminen kuitenkin kuuluu topologian alaan, eikä siihen syvennytä tässä.
\end{määritelmä}

\begin{esimerkki}
Yksikköneliö ja -kiekko ovat kaksi yksinkertaista esimerkkiä Jordan-alueista.

Yksikköneliön reunakäyrä on jatkuva mutta vain paloittain derivoituva, eli sillä on derivaatta kaikkialla muualla paitsi neliön kärkipisteissä. Kuitenkin nämä derivaatan epäjatkuvuuskohdat muodostavat vain nollamittaisen joukon, joten esimerkiksi integrointi onnistuu myös neliön reunan yli. Yksikkökiekon reunakäyrä taas on esimerkki äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituvasta Jordan-käyrästä.
\end{esimerkki}

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{asy}
import graph;
draw((-40,0)--(40,0), Arrow);
label("$x$",(40,0),S);
draw((0,-40)--(0,40), Arrow);
label("$y$",(0,40),E);
draw(Circle((0,0),20));

draw((70,0)--(150,0), Arrow);
label("$x$",(150,0),S);
draw((110,-40)--(110,40), Arrow);
label("$y$",(110,40),E);
draw((110,20)--(130,20)--(130,0));
\end{asy}
\end{center}
\caption{Yksikköympyrä ja yksikköneliö}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\begin{asy}
size(8cm);
pair a = shift(5*dir(160))*(190,110);
pair b = shift(5*dir(160))*(155,45);
draw((75,240)..(145,215)..(200,240)..(280,190)..(330,100)..(300,40)..(210,30)..(155,45)--(190,110)..(220,110)..(230,140)..(185,145)..a--b..(66,75)..(45,150)..cycle);

draw((190,110)--(155,45),MidArrow);
label("$\Gamma_1$",midpoint((190,110)--(155,45)),SE);
draw(b--a,MidArrow);
label("$\Gamma_2$",midpoint(a--b),NW);
arrow(shift(15*dir(225))*(230,110), dir(45));
arrow((250,215), dir(315));

draw(shift(5*dir(270))*(b--(155,45)), Arrows);
label("$\varepsilon$",shift(5*dir(270))*b,S);
label("$B$",(200,135),S);
label("$A$",(100,105),S); 
\end{asy}
\end{center}
\caption{Tekstissä kuvailtu Jordan-käyrä. Huomaa käyrän myötäpäiväinen kiertosuunta alueen $B$ ympäri.}\label{yhdys}
\end{figure}

Edellinen määritelmä ei takaa, että myös kahden Jordan-alueen leikkaukset ja unionit olisivat Jordan-alueita. Ongelmana ovat epäyhtenäiset mutta muuten säännölliset ja/tai reikäiset alueet. Eräät lähteet yksinkertaisesti toteavat, että Jordan-alueen reuna voi koostua myös kahdesta tai useammasta erillisestä Jordan-käyrästä ja että Jordan-alue on \emph{k-yhtenäinen}, jos sen reunassa on k kappaletta erillisiä käyriä. (\cite{flanigan}  s. 25) Toisena mahdollisuutena on muodostaa yhden käyrän rajaamien Jordan-alueiden jono joka suppenee kohti haluttua k-yhtenäistä aluetta.

Esimerkkinä tästä tarkastelemme seuraavaksi aluetta $Q = A \setminus B$, jossa $B \subset Int(A)$. Nyt voimme yhdistää kuvan (\ref{yhdys}) mukaisesti Jordan-alueiden A ja B reunat toisiinsa janoilla $\Gamma_1$ ja $\Gamma_2$, jotka eroavat toisistaan vakioetäisyydellä $\varepsilon > 0$. Saamme uuden Jordan-alueen $Q'$, jonka reunakäyrälle pätee $\partial Q' = \partial A' \cup \Gamma_1 \cup \partial B' \cup \Gamma_2$. Antaessamme parametrin $\varepsilon$ lähestyä nollaa polku $\Gamma_2$ lähestyy polkua $- \Gamma_1$, ja integraali alueen $Q'$ reunan yli suppenee haluttuun muotoon \[ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\partial Q'} f \, ds = \int_{\partial A} f \, ds + \int_{-\partial B} f \, ds + \int_{\Gamma_1} f \, ds - \int_{\Gamma_1} f \, ds := \int_{\partial(A \setminus B)} f \, ds\] jossa $-\partial B$ on alueen $B$ reunakäyrän negatiivinen suunnistus.

\begin{huomautus}
Jordan-alueiden muodostama "avaruus" ei ole kuitenkaan täydellinen, eli on olemassa sellaisia Jordan-alueista muodostuvia suppenevia jonoja, joiden raja-arvo ei ole kuitenkaan Jordan-alue. Esimerkki tästä on Koschin lumihiutale. Tämän välttämiseksi vaaditaan, että Jordan-alueen reunan pituus $L$ on äärellinen.

Lisäksi kahden Jordan-alueen leikkaus ei ole yleisessä tapauksessa Jordan-alue. Esimerkiksi $D(\bar{0}, 1) \cap D((0,2), 1) = \{(0,1)\}$.
\end{huomautus}

\begin{lemma} \label{lemma:pituusparam}
Olkoon $\sigma(s) = ({\sigma_1}(s), {\sigma_2}(s))$ jonkin Jordan-käyrän $\partial \Gamma$ parametrisointi pituutensa suhteen. Huomaamme, että käyrän tangenttivektori on silloin $T(s) = \sigma'(s) = ({\sigma_1}'(s), {\sigma_2}'(s))$ ja ulkonormaalin suuntavektori $N(s)=({\sigma_2}'(s), {-\sigma_1}'(s))$. Lisäksi Jordan-käyrän tangenttikäyrällä ja ulkononormaalilla on seuraavat ominaisuudet kaikilla muuttujan s arvoilla:
\begin{enumerate}
\item $||N(s)||=||T(s)||=1$
\item $T(S) \perp N(s)$
\item $N(s)$ osoittaa aina poispäin käyrän rajaamasta Jordan-alueesta $\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
1: Ensimmäisen väitteen todistaminen riittää pelkille sileille käyrille, koska tulos yleistyy suoraviivaisesti sen jälkeen myös paloittain sileille käyrille.

Väitteen todistamista varten konstruoimme parametrisoinnin $\sigma$ käyrän pituuden suhteen. Olkoon käyrän $\partial \Gamma$ pituus $L$ ja $\alpha$ jokin sen parametrisointi mielivaltaisella välillä $[a, b]$. Määrittelemme nyt apufunktion $F: [a,b] \mapsto [0, \infty [$ \[F(m)=\int_a^m ||\alpha'(s)|| \, ds = \int_a^m \sqrt{(\alpha'_1(s))^2+(\alpha'_2(s))^2} \, ds\] Integraalilaskennan peruslauseen nojalla funktion derivaatta on $F'(s)=||\alpha'(s)||$. Se on aina positiivinen, koska $\alpha$ on injektio, eli $F$ aidosti kasvava ja kuvaa välin $[a,b]$ väliksi $[0,L]$. Tästä seuraa, että on olemassa käänteisfunktio $F^{-1}=E: [0,L] \mapsto [a,b]$. Käänteisfunktioiden derivoinnista tiedetään, että $E'(s)=1/F'(E(s))=1/||\alpha'(E(s))||$.

Etsitty parametrisointi on $\sigma(s)=(\alpha_1(E(s)), \alpha_2(E(s)))$, sillä ketjusäännön nojalla $\sigma'(s)=E'(s)\cdot({\alpha_1}'(E(s)), {\alpha_2}'(E(s)))$ ja edelleen 
\begin{align*} ||\sigma'(s)|| = |E'(s)| ||\alpha'(E(s))|| = \frac{1}{||\alpha'(E(s))||} ||\alpha'(E(s))|| = 1\end{align*}

2: Laskemme vektorien $N(s)$ ja $T(s)$ välisen pistetulon: 
\begin{align*}
N(s) \cdot T(s) & = ({\sigma_2}'(s), {-\sigma_1}'(s)) \cdot ({\sigma_1}'(s), {\sigma_2}'(s)) \\ &= {\sigma_2}'(s) {\sigma_1}'(s) - {\sigma_1}'(s) {\sigma_2}'(s) = 0
\end{align*}

Väite seuraa suoraan tästä.

3: Kolmas väite voidaan todistaa käymällä läpi funktioiden $\sigma'_1$ ja $\sigma'_2$ mahdolliset merkkiyhdistelmät. Esimerkiksi jos $\sigma'_1 > 0$ ja $\sigma'_2 > 0$, niin $T(s)$ osoittaa yläoikealle, ja alueen $\Gamma$ tiedetään olevan sen vasemmalla puolella positiivisen orientaation takia. Nyt vektori $N(s)$ osoittaa alaoikealle ja siten poispäin alueesta $\Gamma$. Muut tapaukset ratkeavat vastaavalla tavalla.
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{asy}
draw((100,0){up}..{left}(0,100), Arrow);
path p = (20,20)--(0,0)--(-20,20);
label("$N(s)$",110*dir(42),E);
draw(shift(100*dir(45))*p, Arrows);
label("$T(s)$",110*dir(49),N);
\end{asy}
\end{center}
\caption{Erään Jordan-käyrän ulkonormaali ja tangentti}
\end{figure}

\begin{sloppypar}Nyt meillä on käytössämme tarpeeksi säännöllisten alueiden luokka. Voimme esimerkiksi polkuintegroida niiden reunan yli ja tiedämme tämän integraalin olevan määritelty, mikä nouseekin korkeaan arvoon seuraavassa osiossa. Otamme lisäksi ulkonormaalin suuntaiselle osittaisderivaatalle käyttöön merkinnän \[\frac{\partial f}{\partial n} ds = \nabla f \cdot N(s) ds\] \end{sloppypar}

\begin{esimerkki}[origokeskeisen kiekon reunan parametrisointi pituuden suhteen]
Eräs $R$-säteisen kiekon reunakäyrän parametrisaatio on
\begin{align*} \gamma(s) = \begin{pmatrix}
R\cos(s)\\
R\sin(s)
\end{pmatrix} \text{, jossa } s \in [0, 2\pi]
\end{align*}
Ympyrän kehän pituus on $L = 2\pi R$. Määritellään apufunktio $F$ samoin kuin lemman \ref{lemma:pituusparam} todistuksessa, jolloin saamme

\begin{align*} F(m) = \int_0^m || \nabla \gamma(s) || \, ds = \int_0^m R \, ds = mR \\ E(s) = F^{-1} (s) = \frac{s}{R} \end{align*}
Tästä saadaan edelleen reunakäyrän parametrisointi pituuden suhteen
\begin{align*} \sigma(t) = \gamma(E(t)) = \begin{pmatrix}
R\cos(\frac{t}{R})\\
R\sin(\frac{t}{R})
\end{pmatrix} \qquad t \in [0, 2\pi R]
\end{align*}
\end{esimerkki}

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\begin{asy}
draw((-40,0)--(40,0), Arrow);
label("$x$",(40,0),S);
draw((0,-40)--(0,40), Arrow);
label("$y$",(0,40),W);
draw((0, 20)--(20, 20)--(20, 0));
label("$\Gamma_1$",(10,-3),S);
label("$\Gamma_2$",(23,10),E);
label("$\Gamma_3$",(10,23),N);
label("$\Gamma_4$",(-3,10),W);
\end{asy}
\end{center}
\end{figure}

\begin{esimerkki}[ulkonormaalin derivaatta yksikköneliön reunalla]\label{ulkoneli}
Yksikköneliön reuna muodostuu neljästä janasta, jotka nimeämme oheisen kuvan mukaisesti. Jos funktio $f$ on derivoituva yksikköneliön reunan kaikissa pisteissä, sen ulkonormaalin suuntaiseksi derivaataksi saadaan:
\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial n} = N(s) \cdot \nabla f = \begin{cases}
(0, -1) \cdot \nabla f = -\frac{\partial f}{\partial y}, & \text{kun } (x,y) \in \Gamma_1 \\
(1, 0) \cdot \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}, & \text{kun } (x,y) \in \Gamma_2 \\
(0, 1) \cdot \nabla f = \frac{\partial f}{\partial y}, & \text{kun } (x,y) \in \Gamma_3 \\
(-1, 0) \cdot \nabla f = -\frac{\partial f}{\partial x}, & \text{kun } (x,y) \in \Gamma_4 \\
\end{cases}
\end{align*}

\end{esimerkki}

\section{Greenin kaavat}

Greenin integraalikaavoja voidaan ajatella osittaisintegroinnin yleistyksenä useammalle kuin yhdelle muuttujalle. Tässä ajattelutavassa integrointi välin yli vastaa integrointia Jordan-alueen yli ja välin päätepisteet vastaavat alueen reunakäyrää. Tunnetuksi ja aikaisemmin todistetuksi tosiasiaksi oletetaan Greenin teoreema \[ \int_{\partial \Omega} p \, dx + q \, dy = \int \int_\Omega (q_x - p_y) \, dxdy \, .\] Yhtälön vasen puoli on polkuintegraali vektorikentässä. Koska kaikilla ekvivalenteilla polun parametrisoinneilla saadaan polkuintegraalista sama tulos, niin käytettyä polun parametrisointia ei yleensä merkitä näkyviin yleisessä tapauksessa. Sen sijaan käytetään implisiittistä parametrisointia $x(s)=x$ ja $\frac{dx}{ds}ds=dx$.

\begin{lemma}\label{lemma:ln}
Funktio $\ln{r}=\ln{||z-\bar{x}||} = \frac{1}{2} \ln{((z_1 - x)^2+(z_2 - y)^2)}$ on harmoninen kaikissa muissa tason pisteissä paitsi pisteessä $(z_1, z_2)$. Tämän lisäksi $\ln{r}$ on vakio jokaisen kiekon reunalla $\partial D_R$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Laskujen helpottamiseksi voidaan valita $z=\bar{0}$ yleisyyden kärsimättä.
\begin{align*}
\nabla^2 \ln{||z-\bar{x}||} & = \frac{1}{2} \big( \frac{\partial}{\partial x} \frac{2x}{x^2 + y^2} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{2y}{x^2 + y^2} \big) \\ & = \frac{(x^2 + y^2) - 2x \cdot x }{(x^2 + y^2)^2} + \frac{(x^2 + y^2) - 2y \cdot y }{(x^2 + y^2)^2} \\ & = \frac{y^2 - x^2 }{(x^2 + y^2)^2} + \frac{x^2 - y^2 }{(x^2 + y^2)^2} = 0
\end{align*}
Jälkimmäinen väite on tosi, sillä jos $\bar{x} \in \partial \Omega$, niin $\ln{||z-\bar{x}||} = \ln{R} = \text{ vakio}$.
\end{proof}

\begin{lause}[Greenin kaavat] Olkoon $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ jokin Jordan-alue ja funktiot $p \text{ ja } q$ siinä kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvia. Tällöin pätevät seuraavat integraalilausekkeet:

\begin{enumerate}

\item \begin{equation}\label{eq:greena} \iint_\Omega \nabla p \cdot \nabla q \, dxdy= \int_{\partial \Omega} p\frac{\partial q}{\partial n} \, ds - \iint_\Omega p \nabla^2 q \, dxdy \end{equation}
\item \begin{equation}\label{eq:greenb} \int_{\partial \Omega} (p\frac{\partial q}{\partial n} -\frac{\partial p}{\partial n}q) \, ds = \iint_\Omega (p\nabla^2 q - q \nabla^2 p) \, dxdy \end{equation}
\item Merkitään $r=||z-x||$ kuten lemmassa \ref{lemma:ln}. Nyt kaikille pisteille $z$ pätee: \[q(z) = \frac{1}{2\pi} \iint_\Omega \ln{r} \nabla^2 q \, dxdy - \frac{1}{2\pi} \int_{\partial \Omega} (\ln{r} \frac{\partial q}{\partial n}- q\frac{\partial \ln{r}}{\partial n}) \, ds\]

\end{enumerate}
\end{lause}

\begin{figure}[!hb]
\begin{center}
\begin{asy}
import graph;
size(8cm);
draw((80, 40)..(160,60)..(310,30)..(355,40)..(350,200)..(175,260)..(60,145)..cycle,MidArrow);
draw(circle((230,140), 15),BeginArrow);
label("$B(z, \varepsilon)$",(230,125),S);
label("$\Omega$",(150,150),S);

\end{asy}
\end{center}
\caption{Greenin 3. kaavan todistuksessa käytetty Jordan-alue}
\end{figure}

\begin{proof}
1: Koska, \[ \int_{\partial \Omega} p\frac{\partial q}{\partial n} \, ds = \int_{\partial \Omega} p * \big[ \big( q_x, q_y \big) \cdot \big( \frac{dy}{ds},-\frac{dx}{ds} \big) \big] \, ds
=\int_{\partial \Omega} (p q_x) \, dy+(-p q_y) \, dx , \] niin soveltamalla Greenin teoreemaa saadaan edelleen \[ = \iint_\Omega {D_x(pq_x) -D_y(-pq_y)} \, dxdy = \iint_\Omega (\nabla p \cdot \nabla q + p \nabla^2 q) \, dxdy \] 
Edellinen yhtälö on yhtäpitävä todistettavan kanssa. \newline
2: Yhtälön (\ref{eq:greena}) vasen puoli on symmetrinen funktioiden $p$ ja $q$ suhteen, joten oikealla puolella voidaan niiden rooleja vaihtaa uuden yhtälön muodostamiseksi. Näiden kahden erotuksena saadaan Greenin 2. kaava. \newline
3: Sijoitamme yhtälöön (\ref{eq:greenb}) toiseksi funktioksi $p=\ln{||z-x||}=\ln{r}$ ja Jordan-alueeksi $\Omega' := \Omega \setminus D(z, \varepsilon)$. Kun $\varepsilon$ on tarpeeksi pieni, niin $\partial (\Omega \setminus D(z, \varepsilon)) = \partial \Omega \cup \partial D(z, \varepsilon)$. Lisäksi kun $x \in \partial D(z, \varepsilon)$, niin $\frac{\partial \ln{r}}{\partial n} = -1 / \varepsilon$. Derivaatta on negatiivinen, koska negatiivisen kiertosuunnan tapauksessa ulkonormaalin suuntainen derivaatta on suunnattu derivaatta kohti pistettä $z$. Lisäksi tämän kiekon reunalle pätee napakoordinaatteihin siirryttäessä $ds = \varepsilon \, d\varphi$ myös negatiivisen kiertosuunnan tapauksessa.
\begin{equation} \begin{split} \int_{\partial \Omega} (\ln{r} \frac{\partial q}{\partial n} - q \frac{\partial \ln{r}}{\partial n} ) ds + & \int_0^{2\pi} (\ln{\varepsilon} \frac{\partial q}{\partial n} + q \frac{1}{\varepsilon}) \varepsilon \, d\varphi \\ & = \iint_{\Omega \setminus D(z, \varepsilon)} \ln{r} \nabla^2 q \, dxdy \end{split} \end{equation}
Kun alueesta $\Omega$ poistetun kiekon säde $\varepsilon$ lähestyy nollaa, ylläoleva suppenee haluttuun muotoon. Erityisesti tärkeää on, että \[ \int_0^{2\pi} (\ln{\varepsilon} \frac{\partial q}{\partial n} + q \frac{1}{\varepsilon}) \varepsilon \, d\varphi = \varepsilon \ln{\varepsilon} \int_{0}^{2\pi} \frac{\partial q}{\partial n} \, d\varphi + \int_{0}^{2\pi} q \, d\varphi \longrightarrow 2 \pi q(z)\] Oikea tulos saadaan soveltamalla l'Hospitalin sääntöä ensimmäiseeen sekä integraalilaskennan väliarvolausetta jälkimmäiseen termiin.
\end{proof}

\chapter{Harmonisen funktion käyttäytymisestä}

Pelkkä teoreettinen kaava $\nabla^2 f = 0$ ei paljasta esimerkiksi, miltä harmonisen funktion kuvaaja näyttää. Tässä osiossa todistetaan eräitä harmonisten funktioiden käyttäytymissääntöjä, jotka antavat lisätyökaluja mahdolliselle laajemmalle tutkimukselle. Tämän lisäksi ne myös selittävät yhdessä kolmannen kappaleen kanssa, miksi harmonisia funktioita kutsutaan harmonisiksi.

Aloitamme melko yksinkertaisella tuloksella.

\begin{lause}\label{lause:inoutlemma}
Olkoon funktio $u: \Omega \mapsto \mathbb{R}$ kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva alueessa $\Omega$. Tällöin $u$ on harmoninen alueessa $\Omega$, jos ja vain jos kaikille alueen $\Omega$ suljetuille ja yksinkertaisille poluille $\Gamma$ pätee:
\begin{equation}\label{eq:inoutlemma} \int_\Gamma \frac{du}{dn} \, ds = 0 \end{equation}
\end{lause}
\begin{proof}
Todistaaksemme, että yhtälön (\ref{eq:inoutlemma}) voimassaolo on välttämätön ehto funktion $u$ harmonisuudelle, sijoittamme yhtälöön (\ref{eq:greena}) $p \equiv 1$ ja $q$ harmoninen.

Kääntäen oletetaan, että $u$ ei ole harmoninen alueessa $\Omega$, mutta yhtälö \ref{eq:inoutlemma} pätee sille silti. Teemme saman sijoituksen kuin edellä, jolloin saamme 
\begin{equation}\label{eq:inoutlemma2} \int_{\partial \Omega} \frac{du}{dn} \, ds = \iint_\Omega \nabla^2 u \, dxdy \end{equation}
Koska $u$ ei ole harmoninen, niin on olemassa jokin piste $z$, jossa $\nabla^2 u > 0$ (tai vastaavasti $\nabla^2 u < 0$). Koska funktio $u$ on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva, on nyt olemassa sellainen $\varepsilon > 0$ siten, että $\nabla^2 u(z') > 0$ kaikilla $z' \in D(z, \varepsilon)$. Ylläolevan olevan yhtälön oikea puoli on siis aidosti positiivinen, kun $\Omega = D(z,\varepsilon)$, mikä johtaa ristiriitaan.
\end{proof}

\begin{huomautus}
Yhtälö (\ref{eq:inoutlemma2}) on erikoistapaus divergenssiteoreemasta \[ \int_{\partial \Omega} \bar{F} \cdot \bar{n} \, ds = \iint_\Omega \nabla \cdot \bar{F} \, dxdy\] jossa $\bar{n}$ on reunakäyrän $\partial \Omega$ ulkonormaali ja $\bar{F}$ jokin jatkuvasti differentioituva vektorikenttä. Asettamalla tähän $\bar{F} = - \nabla u$ saamme saman yhtälön kuin edellä. Funktiota $-u$ kutsutaan vektorikentän $\bar{F}$ potentiaaliksi, mutta tästä enemmän seuraavassa luvussa.
\end{huomautus}

\begin{esimerkki}
Sovelluksena lauseesta \ref{lause:inoutlemma} integroimme seuraavaksi funktion $u(x,y)=e^x \sin{y}$ ulkonormaalin derivaatan yksikköneliön $I^2$ reunan yli. Lähdemme liikkeelle pisteestä $(1,0)$ ja kierrämme neliön reunaa vastapäivään. Esimerkissä \ref{ulkoneli} on luettavissa ulkonormaalin arvot neliön eri sivuilla. Tuloksena saamme
\begin{align*}
\int_{\partial I^2} \frac{\partial u}{\partial n} \, ds & = \int_{\partial I^2} N(s) \cdot \nabla u \, ds = \int_{\partial I^2} N(s) \cdot (e^x \sin{y}, e^x \cos{y}) \, ds \\ & = \int_0^1 e^1 \sin{y }\, dy + \int_0^1 e^{1-x} \cos{1} \, dx \\ & \qquad \qquad + \int_0^1 -e^0 \sin{(1-y)} \, dy + \int_0^1 -e^x \cos{0} \, ds \\ & = e(1-\cos{1}) + \cos{1}(e - 1) + (\cos{1} - 1) + (1-e) = 0
\end{align*}
koska $u(x, y)$ on harmoninen kaikkialla tasossa $\mathbb{R}^2$.
\end{esimerkki}

Seuraavat lauseet näyttävät, että harmonisen funktion arvo tietyssä pisteessä riippuu funktion arvosta tämän pisteen ympäristössä. Tätä riippuvuussuhdetta voidaan käsitellä monilla tavoilla ja  yhtälöillä, mutta keskiarvon ja tasapainon käsite nousee niissä kaikissa keskeiseksi.

\begin{lause}\label{lause:arcmean}[Keskiarvo-ominaisuus kiekon reunalle]
Harmonisen funktion $u$ arvo pisteessä $z$ on keskiarvo sen saamista arvoista millä tahansa $z$-keskeisen kiekon reunalla $\partial D_R$.
\begin{equation}\label{eq:arcmean} u(z) = \frac{1}{2 \pi R} \int_{\partial D} u \, ds = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} u(R, \varphi) \, d \varphi \end{equation}
jossa $(r, \varphi)$ ovat $z$-keskisisiä napakoordinaatteja
\end{lause}
\begin{proof}
Jälkimmäinen yhtäsuuruus johtuu napakoordinaatteihin siirtymisestä. Todistetaan ensimmäinen yhtäsuuruus. Soveltamalla Greenin 3. kaavaa harmoniseen funktioon $u$ saadaan lauseen \ref{lause:inoutlemma} nojalla:
\begin{align*} u(z) & = \frac{1}{2\pi} \iint_{D(z, R)} \ln{r} \underbrace{\nabla^2 u}_{\equiv 0} \, dxdy -\frac{1}{2\pi} \int_{\partial D} (\ln{r} \frac{\partial u}{\partial n} - u \frac{\partial \ln{r}}{\partial n}) \, ds \\ & = -\frac{1}{2\pi} (\ln{R} \underbrace{\int_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} \, ds}_{=0} - \frac{1}{R} \int_{\partial D} u \, ds) = \frac{1}{2 \pi R} \int_{\partial D} u \, ds \end{align*}
\end{proof}

\begin{sloppypar}\begin{lause}\label{lause:solidmean}[Keskiarvo-ominaisuus kiekossa]
Vastaava tulos pätee myös harmonisen funktion $u$ kaikissa $z$-keskeisessä ja $R$-säteisissä kiekoissa $D(z, R)$ saamille arvoille.
\begin{equation}\label{eq:solidmean} u(z)= \frac{1}{\pi R^2} \iint_D u \, dxdy \end{equation}
\end{lause}\end{sloppypar}
\begin{proof}
Hyödynnämme edellistä lausetta. Kerromme yhtälön (\ref{eq:arcmean}) puolittain muuttujalla $r$ ja integroimme puolittain yli välin $[0, R]$ muuttujan $r$ suhteen, jolloin saamme
\begin{equation}
u(z)\frac{R^2}{2} = \frac{1}{2\pi} \int_0^R \int_0^{2\pi} u(r, \varphi)r \, d\varphi dr
\end{equation}
Koska $r \, d\varphi dr = dxdy$, voimme siirtyä takaisin karteesisiin koordinaatteihin. Näin saatu lauseke on yhtäpitävä todistettavan kanssa.
\end{proof}

\begin{huomautus}
Kaikille integroituville ja jatkuville funktioille $f$ pätee integraalilaskennan väliarvolause, erityisesti
\[ \iint_{D(z, R)} f(\bar{x}) \, d\bar{x} = \pi R^2 \cdot f(\xi)\] 
jossa $\xi$ on jokin kiekon $D(z, R)$ piste. Funktion harmonisuus tarkoittaa, että tämä piste $\xi$ on aina tarkalleen integroitavan alueen $D(z, R)$ keskipiste.
\end{huomautus}

Kaksi edellistä lausetta ovat yhtäpitäviä keskenään ja funktion harmonisuuden kanssa. Tämän todistamiseksi tarvitsemme yhden aputuloksen.

\begin{lemma}\label{lemma:omaapu}
Olkoon $f$ jokin alueessa $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ integroituva funktio ja $z \in \Omega$ jokin sellainen piste, että $D(z, R) \subset \Omega$ eräällä $R$. Tällöin
\begin{equation}\label{eq:jokunimi}
\int_{\partial D_R} f \, ds = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (\iint_{D_{R+h}} f \, dxdy - \iint_{D_R} f \, dxdy)
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
Määrittelemme apufunktion $g(r')$ seuraavasti:
\begin{align*}
g(r')=\iint_{D_{r'}} f \, dxdy = \int_0^{2 \pi} \int_0^{r'} f \, rdrd\varphi
\end{align*}
Selkeästi funktion $g$ derivaatta pisteessä $r'= R$ on nyt yhtälön (\ref{eq:jokunimi}) oikea puoli. Integraalilaskennan peruslausetta soveltamalla saadaan
\begin{align*}
D_{r'} g(r') = \frac{\partial}{\partial r'} \int_0^{2 \pi} \int_0^{r'} f \, rdrd\varphi = \int_0^{2 \pi} f(r', \varphi) \underbrace{r' \, d\varphi}_{ds} = \int_{\partial D_{r'}} f \, ds
\end{align*}
\end{proof}

%\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (\iint_{D_{R+h}} f \, dxdy & - \iint_{D_R} f \, dxdy) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_R^{(R+h)} \int_0^{2\pi} f(r, \varphi) r \, d\varphi dr \\
%& = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_0^{2\pi} R' f(R', \varphi) h \, d\varphi \quad (\text{jossa } R' \in [R, R+h] ) \\
%& = \int_0^{2\pi} f(R, \varphi)R \, d\varphi = \int_C f \, ds

\begin{lause}
Keskiarvo-ominaisuus kiekon reunalle on yhtäpitävä funktion harmonisuuden kanssa.
\end{lause}
\begin{proof}
Riittää todistaa, että kaikki lauseen \ref{lause:arcmean} toteuttavat funktiot ovat harmonisia, sillä käänteiseen suuntaan tämän tiedetään jo pätevän. Olkoon nyt $u$ jokin kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio, joka toteuttaa yhtälön (\ref{eq:arcmean}) kaikilla pisteillä $z$ ja muuttujan $R$ arvoilla. Derivoimme yhtälöä (\ref{eq:arcmean}) puolittain muuttujan $r$ suhteen. Koska $u(z)$ on vakio, saadaan
\begin{equation}\label{eq:vaihtodiff}
0 = \frac{\partial}{\partial r} \int_0^{2\pi} u(r, \varphi) \, d\varphi = \int_0^{2\pi} \frac{\partial u(r, \varphi)}{\partial r} \, d\varphi
\end{equation}
Kerromme tämän puolittain muuttujalla $r$
\begin{equation}
0=\int_0^{2\pi}\frac{\partial u}{\partial r} r \, d\varphi = \int_{\partial D(z, r)} \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = \iint_{D_r} \nabla^2 u \, dxdy
\end{equation}
Viimeinen yhtäsuuruus seuraa yhtälöstä (\ref{eq:inoutlemma2}). Nyt voimme todeta funktion $u$ olevan harmoninen samantyyppisellä päättelyllä kuin lauseessa \ref{lause:inoutlemma}.
\end{proof}

\begin{huomautus}
Yhtälössä (\ref{eq:vaihtodiff}) vaihdettiin integroinnin ja derivoinnin järjestystä. Se, että tämä on sallittua, on todistettu kirjassa \cite{flanigan} sivulla 92.
\end{huomautus}

\begin{lause}
Keskiarvo-ominaisuus kiekossa on yhtäpitävä funktion harmonisuuden kanssa.
\end{lause}
\begin{proof}
Riittää kun todistamme, että lauseet \ref{lause:arcmean} ja \ref{lause:solidmean} ovat yhtäpitäviä. Tämäkin on jo todistettu toiseen suuntaan. Olkoon nyt $u$ jokin kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio, joka toteuttaa yhtälön (\ref{eq:solidmean}) kaikilla pisteillä $z$ ja muuttujan $R$ arvoilla. Silloin pätee lemman \ref{lemma:omaapu} nojalla
\begin{align*}
\int_{\partial D} u \, ds & = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \big( \iint_{D_{R+h}} u \, dxdy - \iint_{D_R} u \, dxdy \big) \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{\pi}{h} u(z) ((R+h)^2-R^2) = \lim_{h \to 0} \frac{\pi}{h} u(z) (2Rh-h^2) \\
& = \lim_{h \to 0} u(z)\pi (2R + h) = 2\pi R u(z)
\end{align*}
mikä todistaa, että jos lause \ref{lause:solidmean} pätee, niin lause \ref{lause:arcmean} pätee myös.
\end{proof}

\begin{esimerkki}
Integroimme harmonisen funktion $f(x,y)=x^2 - y^2$ jonkin mielivaltaisen kiekon $D(z,R)$ yli ja huomaamme, että saamme lauseen \ref{lause:solidmean} osoittaman tuloksen.
\begin{align*}
\iint_D f \, dxdy & = \int_0^R \int_0^{2 \pi} [(z_1 + r \cos{\varphi})^2-(z_2 + r \sin{\varphi})^2 ] r \, d\varphi dr \\ & = \int_0^R \int_0^{2 \pi} [ r({z_1}^2 - {z_2}^2) + 2r^2(z_1\cos{\varphi}-z_2 \sin{\varphi}) \\ & \qquad +r^3\cos{2\varphi} ] \, d\varphi dr \\ & = \pi R^2 ({z_1}^2 - {z_2}^2) = \pi R^2 f(z_1, z_2)
\end{align*}
\end{esimerkki}

Aiemmat lauseet osoittavat, että funktion arvo kiekon keskipisteessä riippuu sen saamista arvoista kyseisen kiekon reunalla ja sisäpisteissä. Seuraavat kaksi lausetta osoittavat, että samankaltaisia päätelmiä voidaan tehdä mistä tahansa tason $\mathbb{R}^2$ osa-alueesta.

\begin{lause}[Vahva maksimiperiaate]
Jos harmoninen funktio $u$ ei ole vakio jossain reaalitason avoimessa ja yhtenäisessä (mutta ei välttämättä rajoitetussa) alueessa $\Omega$, niin se ei saavuta maksimiaan eikä minimiään tässä alueessa.
\end{lause}
\begin{proof}
Riittää kun tarkastellaan pelkästään maksimiarvoa, koska \begin{align*} \min_{x \in \Omega} u = \max_{x \in \Omega} -u \end{align*} Teemme vastaoletuksen: on olemassa ainakin yksi sellainen piste $z \in \Omega$, että 
\begin{align*}
\max_{x \in \Omega} u = u(z) = c
\end{align*}
Funktion $u$ jatkuvuuden nojalla joukko $u^{-1}(]-\infty, c[)=\{x | u(x) < c\}$ on epätyhjä ja avoin, koska muuten funktio $u$ olisi vakio. Joukko $u^{-1} (c)=\{x | u(x) = c\}$ ei ole avoin, koska muuten $\Omega$ olisi epäyhtenäinen. Tämän nojalla on olemassa ainakin yksi sellainen piste $\xi$ ja reaaliluku $r'$, että $u(\xi)= c$
\begin{align*}
\partial D(\xi, r') \subset \Omega \text{ ja } u^{-1}(]-\infty, c[) \cap \partial D(\xi, r') = K \ne \emptyset
\end{align*}
Koska funktio $u$ on jatkuva, joukko $K$ ei ole yksittäisten pisteiden muodostama joukko eli se ei ole nollamitallinen. Integroidaan alueen $\partial D=\partial D(\xi, r')$ yli:
\begin{align*}
\int_{\partial D} u \, ds & = \int_{\partial D \setminus K} u(\xi) \, ds + \int_K u \, ds \\ & < \int_{\partial D \setminus K} u(\xi) \, ds + \int_K u(\xi) \, ds = \int_0^{2\pi} u(\xi) \, ds = 2\pi u(\xi)
\end{align*}
mikä on ristiriidassa lauseen \ref{lause:arcmean} ja siten myös funktion $u$ harmonisuuden kanssa.
\end{proof}

Kun lisäämme olettamuksia alueen $\Omega$ suhteen, voimme sanoa vielä enemmän funktion $u$ käyttäytymisestä sen sisällä.

\begin{figure}\label{fig:harnack}
\begin{center}
\begin{asy}
import graph;
draw(circle((0,0), 50));
dot((0,0));
label("$z$",(0,0),W);
draw((0,0)--50*dir(45),Arrows);
label("$R$",25*dir(45),NW);
draw(circle(30*dir(325), 20));
draw(30*dir(325)--(30*dir(325)+(20,0)),Arrows);
dot(30*dir(325));
label("$z'$",30*dir(325),W);
label("$d$", 30*dir(325)+(10,0), N);
\end{asy}
\caption{Harnackin epäyhtälöä selventävä kuva, $d=R-||z-z'||$}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lause}[Heikko maksimiperiaate]
Jos funktio $u: \mathbb{R}^2 \supset \Omega \mapsto \mathbb{R}$ on harmoninen ei-vakiofunktio ja $\Omega$ on kompakti, niin $u$ saavuttaa ääriarvonsa vain alueen $\Omega$ reunalla. Tämä voidaan ilmaista myös seuraavalla tavalla: kaikille $\xi \in Int(\Omega)$ pätee
\begin{align*}
\min_{z \in \partial \Omega} u(z) < u(\xi) < \max_{z \in \partial \Omega} u(z)
\end{align*}
\end{lause}
\begin{proof}
Tarkastellaan jälleen vain maksimiarvoa. Koska $\Omega$ on kompakti, niin sille on olemassa äärellinen peite
\begin{align*}
\Omega \subset \bigcup_{i=0}^n V_i .
\end{align*}
Joukko $K=u(\Omega)$ on myös kompakti, koska funktion $u$ jatkuvuuden nojalla pätee
\begin{align*}
u(\Omega) \subset \bigcup_{i=0}^n u(V_i) .
\end{align*}
Nyt joukko $K$ on jokin suljettu väli reaalilukujoukossa $\mathbb{R}$, joten sen oikeanpuoleinen päätepiste $D$ on sen suurin alkio. Lisäksi $D$ on yksikäsitteinen. Edellisen lauseen nojalla $u^{-1}(D) \not \subset Int(\Omega)$. Ainoaksi vaihtoehdoksi siis jää, että $u^{-1}(D) \subset \partial \Omega$. Minimiarvoon voidaan soveltaa samanlaista päättelyä.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{lemma:uni}
Harmonisen ei-vakiofunktion $u$ tasa-arvokäyrät $\beta_c = \{ \bar{x} | u=c\}$ eivät voi olla suljettuja.
\end{lemma}
\begin{proof}
Teemme vastaoletuksen: on olemassa harmoninen ei-vakiofunktio, jolla on ainakin yksi suljettu tasa-arvokäyrä $\beta_c$. Nyt käyrä $\beta_c$ rajaa kompaktin alueen $\Gamma$, jolle pätee edellisen lauseen nojalla
\begin{align*}
\min_{z \in \beta_c} u(z) = c \le u(\xi) \le \max_{z \in \beta_c} u(z) = c \quad \text{ kaikilla } \xi \in \Gamma \\ \text{eli } u(\xi) = c \quad \text{ kaikilla } \xi \in \Gamma
\end{align*}
eli $u$ on vakiofunktio, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa.
\end{proof}

\begin{lause}[Harnackin epäyhtälö]
Olkoon $u$ ei-negatiivinen harmoninen funktio avoimessa kiekossa $D=D(z, R)$. Tällöin kaikille $z' \in D$ pätee
\begin{align}\label{eq:harnack}
0 \le u(z') \le \frac{R^2}{(R - ||z-z'||)^2} u(z)
\end{align}
\end{lause}
\begin{proof}
Soveltakaamme lausetta \ref{lause:solidmean} ensin kiekkoon $D(z', R-||z-z'||)=D'$ (ks. kuva 2.1).
\begin{align*}
0 \le u(z') = \frac{1}{\pi (R-||z-z'||)^2} \iint_{D'} u \, dxdy 
\end{align*}
Koska funktio $u$ on ei-negatiivinen kiekossa $D$ ja $D' \subset D$, niin
\begin{align*}
\iint_{D'} u \, dxdy \le \iint_D u \, dxdy = \pi R^2 u(z)
\end{align*}
Yhdistämällä nämä kaksi epäyhtälöä saadaan lause todistettua.
\end{proof}

\begin{lause}[Liouvillen teoreema]
Jos funktio $u$ on harmoninen koko koordinaattitasossa $\mathbb{R}^2$ ja se on joko ylhäältä tai alhaalta rajoitettu, niin $u$ on vakiofunktio.
\end{lause}
\begin{proof}
Jos funktio $u$ on ylhäältä rajoitettu, niin funktio $-u$ on alhaalta rajoitettu. Tämän vuoksi riittää osoittaa, että alhaalta rajoittuneisuus johtaa väitteen voimassaoloon. Mikäli $u \ge a$ kaikissa tason pisteissä, niin $v := u - a \ge 0$. Tämän vuoksi voimme yleistettävyyttä rajoittamatta olettaa, että funktiomme on koko tasossa ei-negatiivinen. Voimme soveltaa nyt Harnackin epäyhtälöä, jonka tiedämme pätevän funktiollemme kaikilla parametrin $R$ arvoilla. Antamalla säteen $R$ kasvaa rajatta saamme
\begin{align*}
\lim_{R \rightarrow \infty} \frac{R^2}{(R - ||z-z'||)^2} = 1 
\end{align*}
Ottamalla epäyhtälöstä (\ref{eq:harnack}) puolittain raja-arvo säteen $R$ lähestyessä ääretöntä saadaan
\begin{align*}
0 \le u(z') \le u(z) .
\end{align*}
Pisteiden $z'$ ja $z$ roolit voidaan myös vaihtaa keskenään, jolloin saadaan $u(z') = u(z)$. Tästä voimme päätellä, että $u$ on vakiofunktio.
\end{proof}

Nyt tiedämme, että harmonisilla funktioilla on tällaisia tasapainoon ja suorastaan sopusuhtaisuuteen liittyviä ominaisuuksia ja niiden nimittäminen harmonisiksi vaikuttaa paljon järkevämmältä kuin määritelmää \ref{määritelmä:pohja} lukiessa.

\chapter{Käytännön sovellukset}

Kun nyt olemme rakentaneet perustan, teemme lyhyen katsauksen käytännön sovellusten puolelle. Käytännön sovelluksista on kahdenlaista hyötyä. Niiden avulla voidaan perustella matemaattisen tutkimuksen tärkeyttä ja lisätä sen mielekkyyttä aloittelevan opiskelijan silmissä. Toisaalta ne auttavat ymmärtämään myös intuitiivisella tasolla tutkimuksen kohteena olevia matemaattisia lainalaisuuksia.

\section{Potentiaalifunktio}

Jos ajattelemme n-ulotteisessa tilassa vaikuttavaa voimakenttää (joka voi olla esimerkiksi magneettikenttä, painovoima tai nestevirtaus), voimme mallintaa sitä vektorikentällä $F: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n$. Tällöin voimakentässä liikkuvan kappaleen tekemä mekaaninen työ siirryttäessä polkua $\sigma$ pitkin pisteestä $x_0$ pisteeseen $x_1$ on $\int_\sigma F \cdot \frac{d \sigma}{ds} \, ds$. Mikäli tehty työ ei riipu kuljetusta polusta, vaan ainoastaan sen päätepisteistä, niin kutsumme funktiota $F$ konservatiiviseksi. Tällöin on myös olemassa ns. potentiaalifunktio $U$, jolle pätee $-\nabla U = F$ ja $\int_\sigma F \, ds = U(x_1) - U(x_0)$. (\cite{mansfield} s. 87,  \cite{wermer}, s. 2) Jo peruskursseilla opitaan, että skalaarikentän jyrkimmän laskun suunta on gradientin negatiivinen suunta. Tästä voimme päätellä, että konservatiivisen voimakentän vaikutuksessa oleva kappale pyrkii siirtymään aina alemmalle energiatasolle ja tekemään sen mahdollisimman tehokkaasti.

Tämän abstraktin periaatteen selventämiseksi esitetään konkreettisempi esimerkki: ajatelkaamme jotakin epätasaista pintaa, esimerkiksi kupruilevaa muovimattoa. Kuvatkoon funktio $f: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}$ sen korkeuseroja. Seuraavaksi asetamme marmorikuulan  muovimatolle. Oletamme, että kuulan ja maton välillä ei ole merkittävää kitkaa. Matolla oleva kuula pyrkii painovoiman vaikutuksesta vierimään kaltevaa pintaa alaspäin ja liikkeen suunnaksi määräytyy jyrkimmän laskun suunta $-\nabla f$. Kuulan vierittyä pisteestä $x_0$ pisteeseen $x_1$ sen saaman liike-energian määrä on potentiaalienergioiden erotus $mg(f(x_1)-f(x_0))$. Jos emme näkisi lattian pinnan olevan epätasainen, sanoisimme että marmorikuulaan vaikuttaa jokin voimakenttä.

On mielenkiintoista huomata, että useita fysiikan ilmiöitä voidaan mallintaa sellaisilla konservatiivisilla vektorikentillä, joiden potentiaalifunktio on harmoninen. Esimerkkejä tästä ei tarvitse etsiä kaukaa, vaan ensimmäiset opimme jo lukion fysiikan kursseilla.

\begin{esimerkki}[Coulombin laki]
Mikäli kolmiulotteisen avaruuden origoon on kiinnitetty pistevaraus $q_1$, niin pisteeseen $A=(x, y, z)$ sijoitettuun pistevaraukseen $q_2$ kohdistuu voima
\begin{align*}
\bar{F}(x,y,z)=\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon ||\bar{r}||^3} \bar{r} ,
\end{align*}
jossa $\varepsilon$ on väliaineen permittiivisyys ja $\bar{r}$ on paikkavektori $\vec{OA}$. (\cite{mansfield}, s. 443) On melko helppoa mekaanisesti laskemalla näyttää, että
\begin{align*}
\bar{F}=-\nabla \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}
\end{align*}
kaikissa muissa pisteissä paitsi origossa. Todistetaan lisäksi potentiaalifunktion harmonisuus laskemalla
\begin{align*}
\nabla^2 \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} & = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{-x_i}{(\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2})^3} \\ & = \sum_{i=1}^3 \frac{3 {x_i}^2 \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2} - (\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2})^3}{({x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2)^3} \\ & = \frac{3}{(\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2})^3} - \frac{3}{(\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2})^3} = 0
\end{align*}
\end{esimerkki}

\section{Dirichletin reuna-arvo-ongelma}

Edellisessä luvussa todistettiin, että harmonisen funktion käyttäytyminen rajatun alueen sisällä riippuu täysin sen saamista arvoista kyseisen alueen reunalla. Osoittautuu, että tämä periaate ei ole vain teoreettista pohdiskelua, vaan sen avulla voidaan mallintaa useita erilaisia ilmiöitä. Dirichletin reuna-arvo\-prob\-lee\-mak\-si kutsutaan seuraavaa osittaisdifferentiaaliyhtälöä, jossa reuna-arvofunktio $f$ ja Jordan-alue $\Omega$ ovat tunnettuja:

\begin{align}
\begin{cases}\label{eq:dir}
\nabla^2 u = 0, & (x, y) \in Int(\Omega) \\
u = f, & (x, y) \in \partial \Omega \\
u \text{ jatkuva, } & (x, y) \in \partial \Omega \cup Int(\Omega)
\end{cases}
\end{align}

\subsection{Eräitä ratkaisun tulkintoja}
Tämän matemaattisen mallin sovellukset ovat monipuolisia. Reuna-arvot ja ratkaisufunktio voidaan tulkita esimerkiksi seuraavilla tavoilla:

\paragraph{Saippuakalvo rautalankakehikossa} Jos reuna-arvofunktio on tarpeeksi säännöllinen, sen voidaan ajatella esittävän saippualiuokseen kastettua rautalankakehikkoa. Kehikkoon muodostuva kalvo asettuu ratkaisufunktion osoittamalla tavalla. Saippuakalvoa mallintavan funktion harmonisuus voidaan todistaa kahdella tavalla. Ensinnäkin se voidaan saada aaltoyhtälön erikoistapauksena asettamalla värisevän kalvon aikaderivaatta nollaksi. Toisaalta voidaan pyrkiä minimoimaan muodostuvan kalvon pinta-alaa, jolloin päädytään variaatiolaskennan menetelmiä hyödyntäen samaan lopputulokseen kuin ensimmäisessä tapauksessa (\cite{lebedev}, s. 132).
\paragraph{Lämpötasapaino} Voimme myös ajatella, että Jordan-alue $\Omega$ tehtävänannossa on metallilevy, joka lämmitetään reunoiltaan reuna-arvofunktion osoittaman lämpötilajakauman mukaisesti. Tällöin ratkaisufunktio mallintaa lämpötilajakaumaa levyn sisällä. Ratkaisufunktion harmonisuus on tietenkin saatavissa lämpöyhtälön erikoistapauksena vastaavalla tavalla kuin edellisessäkin esimerkissä. Voimme kuitenkin perustella saman myös käyttämällä lausetta \ref{lause:inoutlemma}.

Ajatelkaamme, että kahden tason $\mathbb{R}^2$ pisteen $A$ ja $B$ välistä kulkee virtaus suuntaan $(1/||\bar{v}||)\bar{v}$ nopeudella $||v||$. Yhden aikayksikön aikana janan $AB$ ylitse virranneen nesteen määrä saadaan vektorien $\vec{AB}$ ja $\bar{v}$ määrittämän säännöllisen suunnikkaan pinta-alana. Käsittelemällä lämmönjohtumista eräänlaisena virtauksena voimme soveltaa tätä periaatetta. Jos funktio $f$ kuvaa levyn sisäistä lämpötilajakaumaa, niin $-\nabla f$ kuvaa lämpövirran suuntaa eri pisteissä. Tarkastelemme jotakin levyn mielivaltaista säännöllistä osa-aluetta $\Omega' \subset \Omega$. Tiedämme lämmön nettovirtauksen tämän alueen reunan yli olevan nolla, koska oletamme, että levyssä vallitsee lämpötasapaino. Approksimoimalla alueen $\Omega'$ reunaa murtoviivalla voimme arvioida nettovirtausta edellämainittujen säännöllisten suunnikkaiden pinta-alojen summana. Antaessamme murtoviivassa olevien suorien viivojen määrän kasvaa rajatta saamme raja-arvona $\int_{\partial \Omega} \frac{\partial v}{\partial n} ds$ (\cite{wermer}, s. 6). Asettamalla tämän arvoksi nolla voimme edellisen luvun lauseen \ref{lause:inoutlemma} perusteella todeta lämpötilafunktion olevan harmoninen.
\paragraph{(Ideaali)nesteen virtaus} Edellisessä kohdassa vertasimme lämpöenergian johtumista jonkin abstraktin nesteen virtaukseen. On siis luonnollista, että voimme mallintaa harmonisilla funktioilla myös aivan oikeiden nesteiden ja kaasujen dynamiikkaa. Tässä reuna-arvot voidaan tulkita virtaavan materiaalin lähteinä ja nieluina sekä ratkaisufunktio energiapotentiaalina. Ideaalinesteen kokoonpuristumattomuuden vuoksi nettovirtaus jokaisen rajoitetun alueen reunan yli on oltava nolla, minkä vuoksi lauseen \ref{lause:inoutlemma} on pädettävä. Voimme tästä päätellä ratkaisufunktion olevan aina harmoninen.
\paragraph{Paljon muuta} kuten sähkömagneettisen kentän energiapotentiaali ja aerodynamiikka

\begin{huomautus}[kalvotulkinnan yleistys subharmonisiin funktioihin]
\begin{sloppypar}Kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio $u$ on subharmoninen, jos ja vain jos $\nabla^2 u = -f \ge 0$. (\cite{wermer}, s. 99) Tämän pohjalta voimme laatia Dirichletin reuna-arvo\-prob\-lee\-man yleistyksen, Poissonin differentiaaliyhtälön
\[
\begin{cases}
\nabla^2 u = g, & (x, y) \in Int(\Omega) \\
u = f, & (x, y) \in \partial \Omega \\
u \text{ jatkuva, } & (x, y) \in \partial \Omega \cup Int(\Omega)
\end{cases}
\]
Tässä huomioitavaa, on että funktion $g$ ei välttämättä ole pakko olla ei-negatiivinen. Poissonin differentiaaliyhtälön ratkaisufunktion voidaan ajatella mallintavan esimerkiksi kalvoa, jota painetaan alaspäin pisteittäin vaihtelevan paineen mukaan. Paineen suuruutta kalvon eri kohdissa kuvaa ylläolevassa differentiaaliyhtälössä funktio $f$. (\cite{karhunen}, s. 214).\end{sloppypar}
\end{huomautus}

\subsection{Ratkaisumenetelmän johtaminen}

\begin{sloppypar}Ajatus Dirichletin ongelman ratkaisusta täysin mielivaltaisessa alueessa $\Omega$ vaikuttaa melko vaikealta. Ensimmäinen askel onkin siis käsitellä jotain helppoa yksittäistapausta. Voisimme koettaa ratkaista reuna-arvo-ongelman ensin yksikköympyrässä  tai -neliössä. Myös puolitaso $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0 \}$ vaikuttaa melko mielenkiintoiselta. Tarkastelkaamme kuitenkin aluksi Dirichletin ongelman ratkaisemista yksikköympyrässä. Tällöin pätee seuraava ratkaisukaava.\end{sloppypar}

\begin{lause}[Poissonin integraalikaava]
\begin{sloppypar} Osittaisdifferentiaaliyhtälön \ref{eq:dir} ratkaisufunktio tapauksessa $\Omega = D(\bar{0}, 1)$ saadaan kaavasta
\[u(r, \theta) = \frac{1-r^2}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{u(1, \varphi)}{1-2r\cos{(\varphi - \theta)} + r^2} \, d\varphi\]
jossa $(r, \varphi)$ ovat origokeskeisiä napakoordinaatteja ja $u(1, \varphi)$ on annettu reuna-arvofunktio.\end{sloppypar}
\end{lause}

\emph{Todistuksen luonnostelma:} Lähdemme liikkeelle hieman takaperoisesti. Oletamme ensin, että jokaiselle kiekon $D(\bar{0}, 1)$ pisteelle $z$ on olemassa funktio $H_z$, joka toteuttaa seuraavat ehdot
\begin{enumerate}
\item $H_z(\bar{x})$ on harmoninen kaikilla $ \bar{x} \in D(\bar{0}, 1)$.
\item $H_z(\bar{x})$ on jatkuva kaikilla $\bar{x} \in \partial D(\bar{0}, 1) \cup D(\bar{0}, 1)$.
\item $H_z(\bar{x})=\ln{||\bar{x}-z||}$ kaikilla $\bar{x} \in \partial D(\bar{0}, 1)$.
\end{enumerate}
\begin{sloppypar}Sijoittamalla tämä salaperäisen funktio $H_z$ ja etsittävä funktio $u$ Greenin 2. ja 3. kaavaan sekä vähentämällä nämä toisistaan saamme
\[u(z)=\frac{-1}{2\pi} \int_{\partial D} u(\bar{x}) \frac{\partial}{\partial n}(H_z(\bar{x}) - \ln{||\bar{x}-z||}) \, d\bar{x}\]
Kutsumme funktiota $H_z(\bar{x}) - \ln{||\bar{x}-z||}$ Greenin funktioksi $G(z, \bar{x})$. Useimmille Jordan-alueille on oma Greenin funktionsa, mutta se on hyvin usein erittäin vaikea löytää eikä eksplisiittistä kaavaa usein tunneta lainkaan (\cite{flanigan}, s. 96). Origokeskeisen kiekon $D(\bar{0}, 1)$ tapauksessa tilanne ei ole kuitenkaan näin vaikea. Siirrymme napakoordinaatteihin, merkitään $\bar{x}=(r, \phi)$ ja $z=(\rho, \varphi)$. Oletamme, että Greenin funktiomme on muotoa $G(z, \bar{x})=\ln{(c||\bar{x}-z'||)} - \ln{||\bar{x}-z||}$, jossa $z'$ on jokin piste yksikköympyrän ulkopuolella. Lopulta paljastuu, että $z'=(1/\rho, \varphi)$ ja $c=\rho$. Derivoimalla löydetty funktio muuttujan $r$ suhteen saamme haluamamme kaavan. \end{sloppypar}

Tämän todistuksen tarkempi versio löytyy kirjasta \cite{flanigan} sivulta 94. Vaihtoehtoinen fourier-analyysiä hyödyntävä todistus on kirjassa \cite{farlow} sivulla 263.

\begin{lemma}
Dirichletin reuna-arvoprobleeman ratkaisu on yksikäsitteinen.
\end{lemma}
\begin{proof}
Teemme vastaoletuksen: olkoot funktiot $u$ ja $u'$ kaksi erilaista ratkaisua jollekin Dirichletin ongelmalle alueessa $\Omega$. Nyt kaikilla $\bar{x} \in \partial \Omega$ pätee $u -u' =0$. Nyt lemman \ref{lemma:uni} nojalla voidaan todeta, että itseasiassa $u=u'$ kaikilla $\bar{x} \in \Omega$, mikä on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa.
\end{proof}

Koska Poissonin integraalikaava on "vain" mekaaninen laskukaava, ei sen soveltamisesta esitetä esimerkkejä. Sen sijaan ratkaistaan vastaava ongelma yksikköneliössä muuntamalla se Poissonin differentiaaliyhtälöksi homogeenisilla reunaehdoilla.

Tarkastelemme ensin yleistä tapausta. Mikäli reuna-arvofunktio on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva tai se voidaan valita sellaiseksi, niin voimme käyttää seuraavaa menetelmää. Olkoon $\Omega$ jokin avoin Jordan-alue. Tällöin seuraavilla kahdella reuna-arvo-ongelmalla on sama ratkaisu:

\begin{align*}
\begin{cases}
\nabla^2 u = 0, & (x, y) \in \Omega \\
u = f, & (x, y) \in \partial \Omega \\
\end{cases} \qquad
\begin{cases}
\nabla^2 (u-f) = \nabla^2 (-f), & (x, y) \in \Omega \\
u-f = 0, & (x, y) \in \partial \Omega \\
\end{cases}
\end{align*}

Ratkaisemme ensin oikeanpuoleisen osittaisdifferentiaaliyhtälön. Saamme ratkaisufunktioksi $u_0$. Tällöin vasemmanpuoleisen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisuksi tulee ${f+u_0}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{Untitled-1}
\end{center}
\caption{Yhtälön \ref{eq:abcde} likiratkaisun kuvaaja, summatermejä 50 kappaletta.}\label{dirkuva}
\end{figure}

\begin{esimerkki}[Dirichletin reuna-arvoprobleema yksikköneliössä]
Haluamme löytää sellaisen yksikköneliön sisäpisteistössä harmonisen funktion $u$, joka saa yksikköneliön reunalla seuraavat arvot:
\begin{align}\label{eq:abcde}
\begin{cases}
u(x,y)= \frac{1}{2}(x-x^2) & (x,y) \in J=\{ (x,1) | 0 \le x \le 1 \} ,\\
u(x,y)=0 & (x,y) \in \partial I^2 \setminus J.\\
\end{cases}
\end{align}
\begin{sloppypar}
Etsimämme kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio on ${f=\frac{1}{2}y(x-x^2)}$, $\nabla^2 (-f) = y$. Ratkaiskaamme siis ensin Poissonin yhtälö
\end{sloppypar}
\begin{align*}
\begin{cases}
\nabla^2 u_0 (x,y)= y, & (x, y) \in Int(I^2), \\
u_0(x,y)=0, & (x, y) \in \partial I^2 ,\\
\end{cases}
\end{align*}

jossa $I^2$ on yksikköneliö. Tässä erikoistapauksessa tapauksessa voimme luontevasti soveltaa fourier-sarjoja. Koska funktio $u_0$ lisäksi häviää identtisesti yksikköneliön reunoilla, tiedämme myös että sen fourier-sarja on muotoa

\begin{align}
u_0 & = \sum_{n,m=1}^{\infty} a_{nm} \sin{n\pi x}\sin{m\pi y} \notag \\
\text{Lisäksi } \nabla^2 u_0 & = \sum_{n,m=1}^{\infty} -a_{nm} \pi^2(n^2 + m^2) \sin{n\pi x}\sin{m\pi y} = y \label{eq:fourier}
\end{align}

Jono $\{ \sin{n\pi x}\sin{m\pi y} \}_{n,m=1}^{\infty}$ on ortogonaalinen, joten voimme kertoa yhtälön \ref{eq:fourier} vuorotellen niistä jokaisella ja sitten integroida saatu uusi yhtälö yksikköneliön $I^2$ yli. Näin saamme laskukaavan kertoimille $a_{nm}$:

\begin{align*} a_{nm} & = \frac{\int_{I^2} y \sin{n\pi x}\sin{m\pi y} \, dxdy}{-\pi^2(n^2 + m^2) \int_{I^2} \sin^2{n\pi x}\sin^2{m\pi y} \, dxdy} \\ & = \begin{cases} \frac{8(-1)^m}{nm(n^2 + m^2) \pi^4}\qquad n \text{ parillinen}\\ 0, \qquad \text{muulloin} \end{cases} \end{align*}

Lopullinen ratkaisu saadaan kuten edellä. Ääretöntä summaa on tietenkin mahdotonta laskea yleisessä tapauksessa, mutta kuvassa (\ref{dirkuva}) on esitetty eräs likiratkaisu (suurempiresoluutioinen kuva saatavilla pyynnöstä).
\end{esimerkki}

\newpage
\paragraph{Tiivistelmä}
Kaikki harmoniset funktiot $f \in C^2 (\mathbb{R}^2)$ toteuttavat yhtäpitävästi seuraavat ehdot:
\begin{enumerate}
\item $\nabla^2 f \equiv 0$
\item $\frac{1}{2\pi R} \int_{\partial D} f \, ds = f(z)$
\item $\frac{1}{\pi R^2} \iint_D f \, dxdy = f(z)$
\end{enumerate}
jossa $D$ on jokin $z$-keskeinen ja $R$-säteinen kiekko. Näiden lisäksi harmonisilla funktioilla on muitakin mielenkiintoisia ominaisuuksia. Ellei kyseessä ole vakiofunktio, niin harmoniset funktiot saavuttavat kompaktissa joukossa $\Omega$ äärimmäisarvonsa vain reunan $\partial \Omega$ pisteissä. Lisäksi voidaan osoittaa, että jos koko koordinaattitasossa harmoninen funktio on joko ylhäältä tai alhaalta rajoitettu, se on vakio. Soveltavassa matematiikassa harmoniset funktiot ovat yhtä hedelmällinen tutkimuskohde kuin teoreettisessakin. Niiden käytännön sovelluksista mainittakoon useat fysikaalisiin ilmiöihin liittyvät potentiaalifunktiot ja erilaiset pyörteettömät virtaukset.

\begin{thebibliography}{0}
\bibitem{flanigan}
F. Flanigan, \emph{Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions}, Dover Publishing, 1983
\bibitem{mansfield}
M. Mansfield ja C. O'Sullivan, \emph{Understanding Physics}, Praxis Publishing, 1999
\bibitem{wermer}
John Wermer, \emph{Potential Theory}, Springer-Verlag, 1974
\bibitem{lebedev}
Leonid P. Lebedev,Michael J. Cloud, \emph{Introduction to Mathematical Elasticity}, World Scientific Publishing, 2009
\bibitem{karhunen}
Karhunen et al. \emph{Lujuusoppi}, Otatieto, 1992
\bibitem{farlow}
Stanley J. Farlow, \emph{Partial Differential Equations for Scientists and Engineers}, Dover Publications Inc., 1982
\end{thebibliography}

\end{document}

