Lapsuuden kesäpäivinä meistä monet varmasti puhaltelivat saippuakuplia. Saippuakuplat ovat myös tieteen näkökulmasta mielenkiintoisia, sillä ne pyrkivät aina minimoimaan oman pinta-alansa, joten niitä voidaan hyödyntää esimerkiksi optimointitehtävien ratkai- semisessa. Esimerkiksi saippualiokseen kastettuun rautalankakehikkoon muodostuva saippua- kalvo on aina pinta-alaltaan mahdollisimman pieni. Variaatiolaskennan keinoin voidaan osoittaa, että tällaisen saippuakalvon pinta-alan A antavan integraalin A(f) = \iint_{\Omega} \sqrt{1+||\nabla f||^2} \, dxdy minivoiva funktio on *harmoninen* eli saippuakalvo asettuu jonkin harmonisen funktion osoittamalla tavalla. Funktio on harmoninen, jos sen 2. asteen osittaisderivaattojen summa on nolla, eli \laplace f = 0. Harmonisilla funktioilla voidaan kuvata saippuakalvojen lisäksi esimerkiksi erilaisia voimakenttiä tai lähteettömiä virtauksia. Harmonisille funktioille on ominaista, että funktion saamat arvot jossain alueessa voidaan jäänteettömästi johtaa sen käyttäyttymisestä tämän alueen reunalla. Esittelen seuraavaksi kaksi tällaista har- monisiin funktioihin liittyvää reuna-arvo-ongelmaa. Neumannin ongelmassa voidaan ajatella, että tutkitaan nestevirtausta jonkin kompaktin alueen sisällä. Nesteen virtausnopeudet tämän alueen reunan ylitse tiedetään ja halutaan tietää mitä alueen sisällä tapahtuu. Jos alueen nettovirtaus on nolla, niin Neumannin ongelman ratkaisufunktio on harmoninen. Dirichlet'n ongelmassa taas tiedetään harmonisen funktion saamat arvot alueen reunalla ja halutaan tietää mitä arvoja se saa alueen sisällä. Eräs tulkinta Dirichlet'n ongelmasta on, että siinä tutkitaan lämpötilatasapainoa reunoiltaan lämmitetyssä tai jäähdytetyssä metallilevyssä. Harmoninen funktio ei ole kuitenkaan lämpöä eikä nesteen virtausta, vaan lämmön johtu- miseen ja nesteen virtaukseen liittyvä matematiikka on samanlaista. Puhutaankin esimer- kiksi lämpövirrasta. Neumannin ongelman yhteydessä mainitsin, että ratkaisufunktion harmonisuus vaatii, että alueen nettovirtaus on nolla. Tämän saman asian vaihtoehtoinen, matemaattinen esitystapa on NV(f) = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} \, ds = 0 jossa \frac{\partial f}{\partial n} on reunakäyrän ulkonormaalin suuntainen derivaatta. Harmonisilla funktioilla tämä pätee kaikille suljetuille ja yksinkertaisille käyrille ja toisinpäin, eli jos NV(f) = 0 kaikille yksinkertaisille ja suljetuille käyrille, niin funktio f on harmoninen. Tämän lisäksi harmonisilla funktioilla on myös eräitä toisia yhtäpitäviä ominaisuuksia. Näistä ehkä kauneimpina voi pitää keskiarvo-ominaisuuksia. Harmonisen funktion arvo jonkin ympyrän keskipisteessä on keskiarvo sen kehällä saamista arvoista. Sama pätee myös ympyrän sisäpisteissä saaduille arvoille. Nämä kaksi ominaisuutta ovat yhtäpitäviä paitsi keskenään myös funktion harmonisuuden kanssa. Keskiarvo-ominaisuuksien lisäksi harmonisilla funktioilla on ääriarvoihin liittyviä ominaisuuksia. Harmoninen funktio saavuttaa ääriarvonsa kompaktissa alueessa aina kyseisen alueen reunalla. Tästä voidaan päätellä, että harmonisilla funktioilla ei ole paikallisia ääriarvopisteitä vaan ainoastaan satulapisteitä. Niin kutsutun Harnackin epäyhtälön avulla voidaan osoittaa, että koko koordinaattitasossa harmoninen, mutta ylhäältä tai alhaalta rajoitettu funktio on vakiofunktio. Tätä kutsutaan Liouvillen teoreemaksi. Jo muinaiset Pythagoralaiset uskoivat, että maailma rakentuu harmonialle ja matematiikalle. Onkin siis iloinen asia todeta, että monet luonnonilmiöt todella ovat mallinnettavissa harmonisten funktioiden kaltaisilla sopusuhtaisilla matemaattisilla objekteilla. tl;dr: saippuakuplat, pinta-alan A(f) minivoiva funktio on harmoninen, variaatiolaskenta määritelmä, sovellukset, käyttäytyminen sisäpisteissä seuraa reunakäyttäytymisesta Neumann ja Dirichlet "Harmoninen funktio ei ole kuitenkaan lämpöä eikä nesteen virtausta, vaan", nettovirtaus NV(F) keskiarvo-ominaisuudet, ääriarvo-ominaisuudet, ei paikallisia ääriarvopisteitä, Liouvillen teoreema